나는 중, 고등학교 때 수많은 인수분해 공식들을 암기했었다. 그 중에 기억에 남는 특별한 형태들을 한번 생각해 보자 

![](https://steemitimages.com/DQmWvE76JeZJik38YeoRrjHZ5YTXqA82ypmYHiohGLXHR16/image.png)

여기서 조금 호기심이 많은 학생이라면 4차나 5차 같은 고차에서도 비슷한 형태의 인수분해 식이 성립하지 않을까란 생각을 할 것이다. 당연히 있다. 

사실 이런 형태의 인수분해 공식을 [뉴턴 항등식](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%89%B4%ED%84%B4_%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%8B%9D)이라고 한다.  [Newton's identity](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities#Formulation_in_terms_of_symmetric_polynomials), 위키피다아를 긁어와 보면 [사실 Albert Girard 가 먼저 발견하긴 했는데 ㅋㅋㅋ Newton-Girard Formulas 이라고 부르는 사람도 있지만 대부분 Newton's identities 라고 부른다] 


예전에 대학 입시였나 수리논술이었나 한번 나왔던 주제로 알고 있는데 그 시장을 떠난지 오래되서 기억이 가물하다. 


![](https://steemitimages.com/DQmWKbX2NsisUFsCg4CwudrMUqnFbrRa3BNCFvEZnLi7VL7/image.png)


이를 더 잘 이해하기 위해 p_k 와 e_k 의 정의를 불러와 보자

p는 power sum 의 약자로 p_k 는 다음과 같이 정의된다. 
![](https://steemitimages.com/DQmWfZSSdS4ERqrqYRcGey8hQV5EhdJdMXxTFiDoZkHR4Ki/image.png)

e는 elementary symmetric polynomial 의 약자로 

![](https://steemitimages.com/DQmema7777Qd5s2BLaZDjgWmRTAhGSE7vaXXFBBUG7qheyP/image.png)

당연히 정의로부터 e_1=p_1 인 것을 확인 할 수 있다. 

세번째  p_3 식은 a^3 과 관련된 식을 정확히 제공한다. 다만 p_2 의 경우 완전제곱식 형태를 돌려주기에 사실 저 식과 완전히 같은 형태는 아니다 

즉

![](https://steemitimages.com/DQmcB2atJZM1M7PeuyyCZcPqLUGCxusT3sNrQGeFtzpuU61/image.png)

형태로 전개하면 얼추 맨 처음 식과 비슷한 형태로 정리된다. (3승 관련된 식은 완전히 같고 2승 관련된 항이 사실 문제였던 것이다.) 

![](https://steemitimages.com/DQmQKJRjviRZ1kmvpC3BKe9wvPNX2gDHJtuKyVAwJAmSp5T/image.png)


그렇다면 4승과 관련된 n=4 일때는 어떻게 전개가 될까? 

![](https://steemitimages.com/DQmbLYWRazPEYo5QX4M8BoQdSCKTXGPiZFAVXy9MxbytG6p/image.png)

이것을 정의에 대입해서 원하는 형태로 돌려보면 

![](https://steemitimages.com/DQmXJRtq5v7bXhehhJ3HPzyurciJ6fPZTK1sB95BKCoDmqW/image.png)

5차 이상의 고차도 비슷한 방법으로 공식을 이용해서 풀 수 있다.  
4차 이상의 식은 너무나 복잡하게 보인다. 그래서 아마 교과과정에 빠지지 않았나 싶다. 

한번  p를 기준으로 쓴 식을 봐볼까? 

![](https://steemitimages.com/DQmP271p5ghiDY55FEN2WFGtviMLn3Xw335CmLE9dpdJUTX/image.png)

꼴보기가 싫군 ㅋㅋㅋㅋ


이런 형태의 식의 증명은 첫번째로 무작정 전개한후 A-B=0 으로 보이는 방법이 있다. 이는 각 k 마다 나누어서 모든 경우를 확인해야 함으로 바람직하지 못하다.  일반적인 증명방법으로 수학적 귀납법이나, generating function 을 이용하여 한다. 고교 과정에 맞추려면 아마 수학적 귀납법이면 족할 것으로 보인다. 


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ㅋㅋ 사실 중 고등학생 때나 열심히 인수분해 공식들을 외우지, 실제로 학계에 나가면 뭐 인수분해가 유용할 때도 있지만 인수분해 공식 같은거 그냥 컴퓨터에 넣어서 전개해서 보이는 방식으로 확인한다. 컴퓨터로 수식들 집어넣고 어떤 factor 로 묶어라 하면 다 해준다

대부분의 사람들은 컴퓨터의 등장으로 이런 단순 계산들로 부터 자유로워 졌지만... 아직도 나는 손으로 일일이 확인하고 있으니 ㅋㅋㅋㅋ  

일단 컴퓨터를 잘 다루지 못하는 것이 가장 큰 것 같다.  ㅋㅋㅋㅋㅋ

ㅠㅠ