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([이미지 출처](https://pixabay.com/en/calendar-date-time-month-week-660670/), CC0 license)

# 날짜와 요일의 관계

## 율리우스력에서 그레고리력으로의 전환

[율리우스 카이사르](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A8%EB%A6%AC%EC%9A%B0%EC%8A%A4_%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EC%82%AC%EB%A5%B4)가 도입한 율리우스력은 다음과 같은 규칙으로 날짜를 계산하였다. 

1. 평년은 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;365.25=365\frac{1}{4}" title="365.25=365\frac{1}{4}" align = "center"/> 일 이고, 4년마다 윤년 (366일)을 배치한다. 

이는 굉장히 부정확한 날짜 계산법이었는데, 그 이유는 지구가 태양을 한 바퀴 돌아 제자리로 올 때까지 걸리는 시간이 약 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;365.2422" title="365.2422" align = "center"/> 일 이기 때문이다. 얼핏 보기에는 굉장히 작은 오차 같지만, 계산해보면 약 128년 마다 하루가 뒤쳐지게 된다. 

카이사르는 기원전 1세기 사람이므로, 16세기 (약 1600년 뒤)에 들어서는 10일 정도가 원래의 날짜보다 뒤쳐지게 된다. 계속된 오차 누적을 감당할 수 없었던 교황청은 새로운 날짜 계산법을 고안해냈고, 교황 [그레고리오 13세](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%90%ED%99%A9_%EA%B7%B8%EB%A0%88%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%98%A4_13%EC%84%B8)는 그 유명한 [그레고리력](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B8%EB%A0%88%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EB%A0%A5)을 제정하고 공포한다.  이는 다음과 같이 요약된다.

- 1582년 10월 4일 목요일 다음날을 1582년 10월 15일 금요일로 하여 오차를 한 번에 제거한다. 

- 4의 배수인 해(년)를 윤년으로 한다. 단, 100의 배수 중 400으로 나누어 떨어지지 않는 해는 평년으로 한다. 

즉 윤년을 정하는 조건을 2개 더 집어 넣어 강제로 오차를 제거한 것이다. 예를 들어서, 1700년은 100의 배수이지만 400으로 나누어 떨어지지 않기에 윤년이 아니라 평년이 된다. 마찬가지로 1800, 1900년 도 평년이지만, 2000년은 윤년이 된다. 

## 날짜와 요일의 관계

율리우스력에서 날짜와 요일의 관계는 어떻게 될 까? 이는 다시말하면, 특정한 날짜가 주어지면 그 날짜의 요일을 대답해주는 관계식이 있냐고 묻는 것과 같다. 없을 이유가 없다...ㅋㅋ. 일단 이러한 관계식을 찾기 위해서는 요일을 문자그대로가 아닌 숫자로 인식해야 한다. 요일은 7일마다 반복되므로, 다음과 같이 인식하면 충분하다. 

<center> <b> 일요일 = 0, 월요일 = 1, 화요일 = 2, ..., 토요일 = 6 </b> </center>

이렇게 인식하는 이유는, 0부터 6까지의 정수는 7로 나눈 나머지를 이루기 때문이다. 따라서 날짜 

<center> YYYY / MM / DD </center>

가 주어지면, 요일수

<center> 0부터 6까지의 정수 중 하나인 </center>

<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;w" title="w" /> 를 출력하는 공식을 만들면 된다. 

## 평년과 요일의 관계
먼저 YYYY 꼴의 년도를 앞 두자리와, 뒤 두자리로 나눈다. 예를 들어서, 2010년이면, 

<center> 앞 두자리 20과 뒤 두자리 10 으로, </center>

1908년이면 

<center> 앞 두자리 19와 뒤 두자리 08(=8) 로 나누는 것이다. </center>

이제 앞 두자리 수를 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;c" title="c" /> , 뒤 두자리수를 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;d" title="d" /> 로 놓자. 평년은 365일 이고, <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;365&space;=&space;7&space;\times&space;52&space;&plus;&space;1" title="365 = 7 \times 52 + 1" align = "center"/> 이므로, 년도가 하나 넘어갈때마다, 요일은 전년도 동일 날짜보다 하루 (나머지가 1)만큼 앞서간다. 따라서 일단 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;d" title="d" /> 를 더하자. 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;w&space;=&space;d&space;\mod&space;7" title="w = d \mod 7" /></center>

## 윤년과 요일의 관계

4의 배수인 해는 __원칙적으로__ 윤년이므로, 위 공식은 수정되야 한다. 어떤 수가 4의 배수일 조건은 뒤 두자리가 4의 배수일 조건과 동치이므로, 우리는 관계식에 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;\lfloor&space;d/4&space;\rfloor" title="\lfloor d/4 \rfloor" /> </center>

을 더해주어야한다. 수정한 공식은 다음과 같다. 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor \mod 7" /> </center>

다음으로, 그레고리력에 추가된 100의 배수 조건을 살펴봐야 한다. 100의 배수인 해는 뒤의 두 자리가 00으로 끝나는 년도만 해당된다. 00으로 끝나는 해는 100년마다 돌아오고, 100년이 지날 때 마다 요일은 24번의 윤년 때문에

<center><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;100&space;&plus;&space;24&space;=&space;124" title="100 + 24 = 124" align = "center"/> </center>

만큼 앞서간다. (100년전 동일 날짜에 비해) 요일이 124 만큼 앞서간다는 것은 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;124&space;=&space;7&space;\times&space;18&space;-&space;2" title="124 = 7 \times 18 - 2" /> </center>

2일 뒤쳐진다는 것과 동치이다 (-2에 주목). 100년을 앞서갔을때, 뒤의 두자리는 변하지 않으므로, 앞의 두 자리에 -2를 곱한 값을 더해

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\dpi{120}&space;w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-&space;2c&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor - 2c \mod 7" /> </center>

로 수정할 수 있다. 이제 400의 배수들을 생각해주자. 400의 배수인 해는 뒤 두자리는 00으로 고정되고, 앞 두자리가 4의 배수이어야 한다. 이들은 윤년이므로, <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;c/4&space;\rfloor" title="\lfloor c/4 \rfloor" align = "center"/> 을 더해서 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-&space;2c&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{c}{4}&space;\rfloor&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor - 2c + \lfloor \frac{c}{4} \rfloor \mod 7" /> </center> 

로 수정할 수 있다. 

## 달과 요일의 관계
년도와 요일의 관계를 살펴봤으니, 달과 요일의 관계도 알아봐야 한다.  윤년은 2월달에 하루를 더하므로 편의상 3월을 년도의 시작으로 보고, 2월을 그 해의 마지막으로 보아, 달을 나타내는 숫자 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m" title="m" /> 을 다음과 같이 약속한다. 

<center> <b> 3월 = 1, 4월 = 2, 5월  = 3, ..., 12월 = 10, 1월 = 11, 2월 = 12 </b> </center>

모든 달은 28일보다 크거나 같고, 28은 7의 배수여서 요일에 변화를 주지 않으므로, 28일보다 얼만큼 더 가지고 있는지 살펴보면 다음과 같다. 

|     m     |  1  |  2  |     3    |     4    |  5  |
|:---------:|:---:|:---:|:--------:|:--------:|:---:|
|    달     | 3월 | 4월 |    5월   |    6월   | 7월 | 
| 일 수 |  31 |  30 |    31    |    30    |  31 |
|  더 가진 일 수    |  3  |  2  |     3    |     2    |  3  |
|    누적     |  0  |  3  | 5 | 8  |  10 | 

 |  6  |  7  |  8  |  9  |  10 |  11 |  12 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 8월 | 9월 | 10월 | 11월 | 12월 | 1월 |2월 |
|  31 |  30 |  31 |  30 |  31 |  31 |  28 |
|  3  |  2  |  3  |  2  |  3  |  3  |  0  |
|  13 |  16 |  18 |  21 |  23 |  26 |  29 |

누적 0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29 를 각 달의 숫작 1,2,3,..., 12와 연관지어야 한다. 5달 마다 누적 13 만큼 늘어나므로, 이들을 연관짓는 관계식은 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;\frac{13m}{5}&space;&plus;&space;a&space;\rfloor" title="\lfloor \frac{13m}{5} + a \rfloor" /> </center>

꼴일 것이다. 이제 상수 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a" title="a" />를 구해보자. 

1. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;\frac{13}{5&space;}&plus;&space;a&space;\rfloor&space;=&space;0&space;\implies&space;-\frac{13}{5}&space;\leq&space;a&space;<&space;-\frac{6}{5}" title="\lfloor \frac{13}{5 }+ a \rfloor = 0 \implies -\frac{13}{5} \leq a < -\frac{6}{5}" align = "center" />

2. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;\frac{26}{5&space;}&plus;&space;a&space;\rfloor&space;=&space;3&space;\implies&space;-\frac{11}{5}&space;\leq&space;a&space;<&space;-\frac{6}{5}" title="\lfloor \frac{26}{5 }+ a \rfloor = 3 \implies -\frac{11}{5} \leq a < -\frac{6}{5}" align = "center"/>

3. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;\frac{39}{5&space;}&plus;&space;a&space;\rfloor&space;=&space;5&space;\implies&space;-\frac{14}{5}&space;\leq&space;a&space;<&space;-\frac{9}{5}" title="\lfloor \frac{39}{5 }+ a \rfloor = 5 \implies -\frac{14}{5} \leq a < -\frac{9}{5}" align = "center"/>

4. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;\frac{52}{5&space;}&plus;&space;a&space;\rfloor&space;=&space;8&space;\implies&space;-\frac{12}{5}&space;\leq&space;a&space;<&space;-\frac{7}{5}" title="\lfloor \frac{52}{5 }+ a \rfloor = 8 \implies -\frac{12}{5} \leq a < -\frac{7}{5}" align = "center"/>

5. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;13&plus;&space;a&space;\rfloor&space;=&space;10&space;\implies&space;-3&space;\leq&space;a&space;<&space;-2" title="\lfloor 13+ a \rfloor = 10 \implies -3 \leq a < -2" />

5개의 부등식을 모두 만족하는 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a" title="a" /> 의 범위는 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?[-11/5,&space;-2)" title="[-11/5, -2)" align = "center"/> 로 좁혀진다. 편의상  <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;=&space;-11/5" title="a = -11/5" align ="center"/> 로 놓자. 따라서 수정된 관계식은 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-2c&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{c}{4}&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{13m-11}{5}&space;\rfloor&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor -2c + \lfloor \frac{c}{4} \rfloor + \lfloor \frac{13m-11}{5} \rfloor \mod 7" /> </center>

이 된다. 

## 하루와 요일의 관계

각 달 내에서, 하루하루가 지날때마다 당연히 요일도 앞당겨지므로, 일 수를 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k" title="k" /> 로 놓는 다면, 다음과 같이 수정해야 한다. 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-2c&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{c}{4}&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{13m-11}{5}&space;\rfloor + k&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor -2c + \lfloor \frac{c}{4} \rfloor + \lfloor \frac{13m-11}{5} \rfloor +  \mod 7" /> </center>

이제 마지막으로, 특정 값을 집어넣어서 준 식이 성립하게끔 조정해주면 끝난다. 오늘인 2018년 9월 5일은 수요일 이므로, 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d&space;=&space;18,\&space;c=20,\&space;m=7,\&space;k=5" title="d = 20,\ c=18,\ m=7,\ k=5" /> </center>

를 넣으면 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;=&space;8&space;\equiv&space;1&space;\mod&space;7" title="w = 8 \equiv 1 \mod 7" /> </center>

이 나온다. 그런데 수요일은 숫자 3에 대응되므로, 관계식에 2를 더해야지만이 완성된다. 따라서, 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-&space;2c&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{c}{4}&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{13m-1}{5}&space;\rfloor&space;&plus;&space;k&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor - 2c + \lfloor \frac{c}{4} \rfloor + \lfloor \frac{13m-1}{5} \rfloor + k \mod 7" /> </center>

이 완전한 관계식이다. 

## 실제 계산

요약하면 YYYY / MM / DD 꼴의 년월일 정보로부터

- <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k" title="c" align = "center"/>: 일 수 

- <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?m" title="c" align = "center"/>: 달 (3월 = 1, 4월 = 2, ..., 1월 = 11, 2월 = 12)

- <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c" title="c" align = "center"/>, <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d" title="c"/>: 각각 년도의 앞, 뒤 두자리 (만약 1월, 2월이라면 전년도를 대신 사용한다.)

를 계산하고, 이를 식

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;\equiv&space;d&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{d}{4}&space;\rfloor&space;-&space;2c&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{c}{4}&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;\frac{13m-1}{5}&space;\rfloor&space;&plus;&space;k&space;\mod&space;7" title="w \equiv d + \lfloor \frac{d}{4} \rfloor - 2c + \lfloor \frac{c}{4} \rfloor + \lfloor \frac{13m-1}{5} \rfloor + k \mod 7" /> </center>

에 대입하면 요일을 알 수 있다. 

- 2020년 2월 28일: <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k=28,\&space;m=12" title="k=28,\ m=12" align = "center"/> 이고 2월이므로 전년도 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?2019" title="2019" /> 년을 이용하여 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=20,\&space;d&space;=&space;19" title="c=20,\ d = 19" align = "center"/> 를 계산한다. 

<center>  <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;=&space;45&space;\equiv&space;4&space;\mod&space;7" title="w = 47 \equiv 5 \mod 7" /> </center>

이므로 그 날은 __금__ 요일이다. 

- 2018년 12월 25일: 올해 크리스마스는 무슨 요일일까? <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k=25,\&space;m=10,\&space;c=20,\&space;d&space;=&space;18" title="k=25,\ m=10,\ c=20,\ d = 18" align = "center"/> 이므로 

<center> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w&space;=&space;37&space;\equiv&space;2&space;\mod&space;7" title="w = 37 \equiv 2 \mod 7" /> </center>

즉 __화__ 요일이다. 

## 질문점
만약 연도가 5자리 이상 넘어가면 어떻게 되나요? 걱정할 필요가 없다. 그때에는 년도의 앞 3자리를 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?c" title="c" /> 로 정의하면 충분하다. 그런데, 그레고리력도 3300년 마다 1일의 오차가 존재하므로, 연도가 5자리가 되기 전 어느 시점에서는 날짜 계산의 조정이 있어야 한다. 따라서, 날짜계산의 조정이 이루어지는 시점부터 다시 위의 계산을 반복하면 된다. 

## 출처 / 인용

[1] Burton's Elementary Number Theory 6장 

---

마지막으로 위의 식을 파이썬 코드로 짜보면 다음과 같다.
```
def date_of_week(Y, M, D):
    # Find m ,c, d
    if int(M) < 3:
        m = int(M) + 10
        d = int(str(int(Y) - 1)[-2:])
        c = int(str(int(Y) - 1)[0:2])
    else:
        m = int(M) -2
        d = int(Y[-2:])
        c = int(Y[0:2])
    # Find k
    k = int(D)
    L = ['Sunday', 'Monday', 'Tuesday', 'Wednesday',
         'Thursday', 'Friday', 'Saturday']
    w = (d + (d//4) + (c//4) + (13*m-1)//5 -2*c + k) % 7
    return 'The date of the week is ' + L[w] + '!'

#---------------------
Y, M, D = input('Enter the date in YYYY/MM/DD form: ').split('/')
print (date_of_week(Y,M,D))
```