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![1.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmRVB3bCqjnNHaiUzZno2s4kCsFV94PVyaFRtBQNV5cGD1/1.PNG)

Continuando con la temática referente a la Teoría de Conjuntos, específicamente a las operaciones, les presentaré a continuación otra de ellas de gran importancia en el ámbito de la Matemática, a saber, el **Complemento de un Conjunto**. Antes de entrar en la abstracción simbólica, es válido dar inicio preguntándonos desde la cotidianidad ¿qué pensamos cuando hablamos de complemento de algo?, seguramente muchos dirán cosas como: “es lo que le falta a ese algo”, “lo que necesita para ser completo”, “la parte que necesita para lograr la totalidad”. Y es que ciertamente, ninguna de esas posibles respuesta está errada en tanto que nada puede ser completo si le falta algo, en el escenario de la Matemática, específicamente cuando hablamos de *conjuntos* ser completo o ser total sería lograr ser el *Conjunto Universal*, de allí que se dice entonces que el complemento de un conjunto es todo lo que le falta para llegar a ser el universo.

Ahora bien, desde la formalidad algebraica el *Complemento de un Conjunto* se define de la siguiente manera: Dado un conjunto cualquiera A⊂U

![2.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmZ1bQ1RTCr8shgfG3dAMYQiTaqVnAu2Mnv7RSEpdJvna2/2.PNG)

Visualizando en un Diagrama de Venn

![5.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmaA4jb3fMWHftxNdRGF2TVqhqcww3X2TL2FsExrcy34F2/5.PNG)

Como puede observarse en condición necesaria para que un elemento cualquiera pueda pertenecer al *Complemento de un Conjunto* que no pertenezca al conjunto en cuestión, esto nos lleva a concluir una de las características más resaltantes del mismo, se trata del hecho de que **no existen elementos en común entre un conjunto y su complemento**, es decir, son disjuntos (concepto que se ampliará cuando se estudie la Intersección de Conjunto). En la imagen puede apreciarse una de las notaciones más utilizadas, en general se acostumbran:

![6.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmaqEHc6UykGsEEiL2gq6KXVHqMu9FHaiwrWNCAhKC4Cb8/6.PNG)

Así como es conveniente saber cuándo un elemento pertenece al *Complemento de un Conjunto*, es igualmente importante saber cuándo *no pertenece* y en este caso también se asume como definición del referido concepto. (*ver en símbolos en la siguiente imagen*). En líneas generales, se asume la en la definición que el *Complemento de un Conjunto* se determine en el *Conjunto Universal*, no obstante, también puede particularizarse la definición a la búsqueda del complemento de un conjunto en otro conjunto cualquiera B⊂U, esto puede ser visualizado en símbolos en la siguiente imagen:

![3.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmeFcknRX9ApVWfEgPhVzg3jZNoYDTaXvCPophSz5MQ7nA/3.PNG)

Como afirmaciones obvias y de sencilla deducción basados en la definición precedente se desprenden que el complemento del *Conjunto Universal* es el *Conjunto Vacío* y a su vez el complemento del *Conjunto Vacío* es el *Conjunto Universal*, lo cual se expresa en símbolos como sigue

![4.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmTef3tVLTB3tuVE27FF3qcELQGZb6xPgpgRo5KdhiDEWG/4.PNG)

### **Propiedades del Complemento de un Conjunto**

* **Involución**: El complemento del complemento de un conjunto es igual al conjunto. En símbolos
 
![7.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmPP98REDo7nsumvs75eggKceysRzGm7fYiR6nEKNkz7qd/7.PNG)

Para demostrar esta propiedad debemos observar algunas precisiones: en primer lugar se trata de una *Igualdad de Conjuntos*, por lo cual debe demostrarse la doble inclusión tal como expliqué en mi [publicación anterior](https://steemit.com/spanish/@reinaseq/inclusion-e-igualdad-de-conjuntos). Por otro lado, se deben tener presente la definición de *Complemento de un Conjunto* tanto para la pertenencia como para la no pertenencia a dicho conjunto. Dicho esto, procedamos con la demostración.

![10.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmPiezQ4oSe3fvuAJnTQdyoJB4YMkB7uygrYaLtfY6c9oN/10.PNG)

* Si un conjunto es subconjunto de un segundo, entonces el complemento del segundo esta incluido en el complemento del primero

![8.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmQGQVXNFcWbbKMT9WW1JQ46SrYCzQ4eiNrWoT8rtemu5j/8.PNG)

Demostrar esta propiedad requiere tener presentes las definiciones de *Inclusión de Conjuntos* y de *Complemento de un Conjunto*, además de considerar la hipótesis dada A⊂B . Procedamos:

![11.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmbs2313P3TTKaCg2X3rFczZJNCb9WTrZwA6bkk6iJZcpo/11.PNG)

**Ejercicio**: Demostrar que si

![9.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmZFEDsJcsKFregrrTtaGbCgEoTLRzrGyyTPHq4WfMZseR/9.PNG)

Para llevar a cabo la siguiente demostración debemos observar lo siguiente: en primer lugar se trata de una implicación, eso quiere decir que lo que se encuentra a la izquierda de ella se debe considerar como la **hipótesis** y servirá de ayuda en algún momento del proceso demostrativo, y lo que está a la derecha es la **tesis**, por tanto es lo que se debe comprobar. Al observar la tesis nos damos cuenta de que se trata de una *Igualdad de Conjuntos* eso quiere decir que se debe demostrar la *doble inclusión*. Adicionalmente se debe tener presente la definición del complemento de un conjunto. Realizado el análisis previo, procedamos con la demostración.

![12.PNG](https://cdn.steemitimages.com/DQmPrAbStetVSLQe1uqDYgScXWMEGiCz8tLzN2ZDrfSpWGu/12.PNG)

Nos leemos en las próximas publicaciones en las cuales seguiré con la temática de **Operaciones con Conjuntos**.

![2.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmbaLUMMdCWqPahxBNoKTiTrcY11QC4W64QvcNmCGwYBNS/2.png)
### <center> Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas - Albert Einstein[.](https://www.lifeder.com/frases-matematicas/) </center>
![2.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmbaLUMMdCWqPahxBNoKTiTrcY11QC4W64QvcNmCGwYBNS/2.png)


### **Referencia**

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.

**Todas las imágenes, separadores y banners de este artículo son de autoría propia.**

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### **Artículo Anterior**
[Inclusión e Igualdad de Conjuntos](https://steemit.com/spanish/@reinaseq/inclusion-e-igualdad-de-conjuntos)

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![3.png](https://cdn.steemitimages.com/DQmeFgyXjFJK1qMdycYjg6PzJskNeoHxeyiiZtqXKF6euuy/3.png)