<div class="text-justify">
<div class="pull-left"><img src="https://cdn.steemitimages.com/DQmRXCFF563iKPtB8gT8oY42SSM1ayQTk6tRJmRwBY11hNJ/SeriesFourier.png"><center><sub>Imagen editada con GIMP, gráficos hechos con GNU Octave. Elaborada por @abdulmath.</sub></center></div> Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. En está oportunidad les hablaré un poco acerca de <b>Series de Fourier y algunos ejemplos en GNU Octave</b>, en esta oportunidad motivaremos el tema con un poco de historia luego mostraremos la teoría envuelta, y pasaremos a mostrar algunas aplicaciones y como usar el entorno GNU Octave. La misma está dirigida al público en general (aunque debemos acotar, este es un tema de un nivel más alto, para el que es necesario tener de algunos conocimientos previos de análisis real, cálculo avanzado, entre otros más), con atención especial a profesionales y estudiantes universitarios en ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmaTz241KQheijV5qjopsqAzLW8ZpBqCmKmjpaixyGV4Wz/STEMESPANOL06.png
<hr>

<h1><div class="phishy">Introducción Histórica</div></h1>

La idea básica de la serie de Fourier es que cualquier función periódica <b>f</b> de, por ejemplo, el tiempo se puede expresar como una <b>suma trigonométrica</b> de las funciones senos y cosenos con el mismo período <b>T</b>
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmP3iAekcqbe1PCyLGnCN5FrahynjHkvUm5fJ5kjsxhTWm/equation00.png</center>
La idea nació de forma natural en el estudio de problemas de astronomía. <i>Neugebauer (1952)</i> descubrió que los babilonios usaban un tipo primitivo de Series de  Fourier para la predicción de eventos celestes.

Más recientemente D'Alembert (1747) y su discusión sobre las oscilaciones de las cuerdas de un violín. El desplazamiento <b>u = u(t, x)</b> de la cuerda, como una función del tiempo <b>t</b> mayor o igual a cero y la posición <b>x</b>, es una solución de la ecuación diferencial parcial
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmb8zsvaxUyVkpNDdLDxvyCLQ6WaAjjn67jSvPCZ5QFT1z/equation01.png</center>
sujeto a las condiciones
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmdJ9tWPPfGGg3ivXwxxPkqfgxZxjai1Qp7tjQjYbK38kt/equation02.png</center>
La primera condición expresa el hecho de que los extremos de la cuerda <b>[x  =  0, 1]</b> están atadas; la segunda y última condición expresa que la cuerda está en reposo en el momento <b>t = 0</b>.

La solución de este problema es la superposición de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a la velocidad <b>1</b>, como lo expresa la fórmula de D'Alembert:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmen8oARxHLEy4qN5H3c3yLYMZBLYJkEaaraCUGCa76BA2/equation03.png</center>
en la cual <b>f</b> tiene que ser una función impar del período 2, anulándose en <b>x = 0, ± 1, + 2, ...,</b> para hacer <b>u</b> se anule en los extremos de la cuerda. Posteriormente <i>Euler (1748)</i> propuso que tal función podría expandirse en una serie de la función seno cuyo período sea 2
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmYFDyyGxQEHinn9qQ8xdhFJGH6zoGdrCrfntThYK3JXs1/equation04.png</center>
con lo cual resulta que
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmSRVWJr75NBpyrYU98qPLPUpe8EuGVapcLbQ3PBGgTF4E/equation05.png</center>
El <b>armónico simple</b> que aparece en la función anterior, es decir,
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmTkT5bs3dpkQukJZdYmPTnKpiMqPazURBeo7naU5jk47K/equation06.png</center>
es interpretado como un modo fundamental de la cuerda y la frecuencia <b>n/2</b> como en uno de sus tonos fundamentales. La misma idea fue propuesta por <i>Bernouille (1753)</i> y <i>Lagrange (1759)</i> con bastantes críticas de ambas partes. La fórmula
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmYKhnzP13Wim3LMRM9PqZVAUuKmQcs2Dvy6hxZUYaDnbJ/equation07.png</center>
para calcular los coeficientes, más tarde asociada con el nombre de Fourier, aparece por primera vez en un artículo de <i>Euler (1777).</i>

Las contribuciones de Fourier empiezan en el año 1807 con sus estudios sobre el problema de flujo de calor
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmXMTpj5LyGt5KGAsR2QP7bJ7dsjRpG6eGxtfpEwgQqA6f/equation08.png</center>
presentado a la Academia de Ciencias en 1811 y publicado como el famoso <b>Théorie analytique de la chaleur (1822)</b>. En este, realizo un intento muy serio de demostrar que cualquier función suave a trozos <b>f</b> puede expresarse como una suma trigonométrica. Una prueba de este hecho fue encontrada posteriormente por <i>Wardich (1829)</i>. <i>Riemann (1867)</i> también dio importantes aportes a este problema.

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmf8QX7UJQgWvMr1EddqP1GYriGuMBg9SdeNSAjS2pToQo/SeparadorGMath06.png
<hr>

<h1><div class="phishy">Introducción</div></h1>

Comencemos con una definición formal de una función periódica:

<h5><div class="phishy">Definición 1</div></h5> Una función <b>f(x)</b> en una variable <b>x</b> es llamada periódica, con periodo <b>T > 0</b> si el dominio de <b>f</b> contiene a <b>x + T</b> siempre que contenga a <b>x</b> y si para cada <b>x</b> en el domino de <b>f</b> tenemos
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmbKRjJ6nsm2CaJ4nViaYJH1AUTNQNwVEeTeJryJJ9rRH7/equation09.png</center>

También podemos observar que si <b>x - T</b> pertenece al dominio de <b>f</b>, entonces <b>f(x - T) = f(x)</b>. Por lo tanto, se  deduce que si <b>T</b> es el período de <b>f</b>, entonces <b>mT</b> también es un período para cada número entero <b>m > 0</b>. Adicionalmente, el valor  de <b>T</b> positivo más pequeño para el cual (1) se satisface se  le llama período fundamental de <b>f</b>.

Por ejemplo, las funciones
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmcCkvGCMnoMqLNTr9QWDDudUefFvBGgzRTbiF6MzaWuAU/equation10.png</center>
son funciones periódicas con periodo fundamental <b>T = (2m)/L</b>. Notemos que también tiene un periodo común <b>2L</b>.
A continuación mostramos un las gráficas para la función coseno antes descrita, para el valor de <b>L = 2</b> y valor de <b>m = 1:4</b>.
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmf8VZjtrKNhCE1LmGmRiY5SEhQVUMG9pSd4QqeCrSTGNU/Fourier01.png
<sub>Gráficas de una función periódica. Elaborada con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>

Adicionalmente les dejo el script, para que puedan jugar un rato, con el:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmVWeAmfJHXzE99P823cy7VX7coMRqDz5DXQiD5SF3pvAc/equation11.png
<sub>Script para gráficar las funciones periódicas. Elaborada con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>

Si alguna función <b>f</b> se define en el intervalo <b>[s, s + T]</b>, con <b>T > 0</b> y <b>f(s) = f(s + T)</b>, entonces <b>f</b> puede extenderse periódicamente con el período <b>T</b> a toda la línea como
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmQEVm3Wr2vfqBvuLxT2zYQAsoPC5xCgqa87vhM7Qsyatw/equation12.png</center>
Por lo tanto, podemos suponer a partir de ahora que cada función periódica se define en toda la recta real.

<h5><div class="phishy">Definición 2</div></h5> Supongamos que el dominio de <b>f</b> es simétrico con respecto al 0, es decir, si <b>x</b>  pertenece al dominio de <b>f</b>, entonces <b>- x</b> pertenece también al dominio de <b>f</b>. A un función <b>f</b> es llamada par si 
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmVxp6Dvaw8UPbY2LCdNcqGKytmAqdALinP1PN6Lcpx63J/equation13.png</center>
o impar si
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmSvxr9SwH7f3EiuSsFMQUstnRZMY57gmrKCbqKvJjRGiS/equation14.png</center>

<h5><div class="phishy">Polinomio Trigonométrico</div></h5>

Un polinomio trigonométrico es una función <b>P</b> del conjunto de los números reales en el mismo, la cual podemos expresar de siguiente manera:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmZ6kU2MePas45kTRzRWKErdLjzqxeSvbDnQ8hpwpg5nmj/equation15.png</center>
donde
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmUSBiL4H88Ni1eujPpyV7yZYHh7He3DueAzKgFzCANkE4/equation16.png</center>

<h5><div class="phishy">Coeficientes de Fourier</div></h5>

Sea <b>f</b> un función definida del conjunto de los números reales en el mismo, cuyo periodo es <b>2pi</b>, y que  además es integrable en el intervalo <b>[0, 2pi]</b>, entonces los coeficientes de la serie de Fourier de <b>f</b> están dados por
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmaGuMZb2cG889h9SGN4inTa3NsodE979CCYBNHr3YNdr7/equation17.png</center>
La serie de Fourier de <b>f</b> la podemos entonces expresar como la suma formal infinita siguiente
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmQRaXsi4u81sxKyekyyy9mT3PTHQNCWxpnBv2DEsLfxWa/equation18.png</center>

A continuación presentaremos dos ejemplos en donde podremos observar como se comporta la serie de Fourier de la función <b>f</b>. Es de hacer notar que la la convergencia está garantizada en todos los puntos de continuidad de la función.

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmWc6PNwWG3TTTx9BQoTy4a8M7nVh88YMQAwVFjX6msEFD/SeparadorStem.png
<hr>

<h3><div class="phishy">Ejemplo 1</div></h3>

Sea la función siguiente definida por
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmcbNs1nVLQWvzvcBTScWzMYJ1xrRiHwibeNpdmvUyJxoW/equation19.png</center>
como hemos visto ya anteriormente, esta función la podemos extender a toda la recta real a través de la periodicidad. Es muy fácil verificar por simple integración que la serie de Fourier de la función <b>f</b> la podemos expresar de la siguiente manera
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmXBVs4DaVovgb4AGpyhAvKwJNZbxSrQ67jGmrgnPH3g3Q/equation20.png</center>

Sea las sumas parciales hasta <b>n = 5</b> de la serie de Fourier de <b>f</b> dada anteriormente, definida como
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmZAXXxkfPddL7UckLjXNM1bgyVKsGczvPsTiA5uPiSQDv/equation21.png</center>
A manera de tener una mejor perspectiva de el comportamiento de la serie de Fourier de <b>f</b>, las gráficas dadas a continuación, de cada uno de los factores del desarrollo de las sumas parciales de <b>S<sub>5</sub></b>, las podemos visualizar por separado como sigue:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmNWjktpJ1SFK8LR6gjaYUAzk3v4V95kjQNFZVuf25uDPt/Fourier02.png
<sub>Gráficas de las funciones del desarrollo de  la serie Fourier. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>
Luego, si tomamos la suma parcial, es decir, sumamos todos los factores anteriores, tenemos el gráfico de  <b>S<sub>5</sub></b>, dado por:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmZuqB7y3Brb2nWxqoA1nn4aBBCQseNTKUBs2SERPjfAuW/Fourier03.png
<sub>Gráficas de las sumas parciales del desarrollo de  la serie Fourier. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>
Si ampliamos las sumas parciales, y ahora tomamos las sumas parciales <b>S<sub>11</sub></b> y <b>S<sub>15</sub></b> cuyas ecuaciones vienen dadas por:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmYAnif3b1nrK2ZWLr2hsZ8k9YNtKUMg3QxqrxVsr7fUMw/equation22.png
<br>
https://cdn.steemitimages.com/DQmdJRiurbw4MS5pG9fPxsLnPN17VsVMe7yWG3gAn9g18oT/equation23.png</center>
entonces, podemos comparar el comportamiento de estas con respecto a la función <b>f</b> como vemos en el gráfico anexo
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmSe4XXzRxTsNDMMahSQHMfDtw5vJtvHWffMa7B6zQLmLV/Fourier04.png
<sub>Gráficas de <b>S<sub>11</sub></b> en rojo y <b>S<sub>15</sub></b> en azul, de  la serie Fourier y la función <b>f</b>. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmWXaTLF4uGH9x4QgPh29vKFUfyTGrzPaN2v4zytNiEEzC/SeparadorGMath33.png
<hr>

<h3><div class="phishy">Ejemplo 2</div></h3>
 
Dada la función <b>f</b> definida por
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmdFdLHbxDzV2rJfru3AmUvxzCogEuCajfRJjD6KrCrxbS/equation24.png</center>
la cual podemos extender por periodicidad a toda la recta real, como ya lo dijimos en el ejemplo anterior, y como lo mostramos en la definición. De esta manera, podemos calcular la serie de Fourier de la función de manera muy fácil, solamente resolviendo las integrales de los coeficientes, usando integración por partes, integración trigonométrica e inmediata, obteniendo de esta forma la siguiente expresión:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmXNazhbh9zw8TdgY74mpRVnEgzsh2mq33SF65frF2PE8p/equation25.png</center>
Tomemos la suma parcial <b>S<sub>3</sub>(x)</b> de la serie de Fourier dada en la ecuación anterior, la cual viene expresada por:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmXSQtStE5cF1grgQYXAHxY1yah1jN5XkmPA7qmWTnLgyq/equation26.png</center>
A continuación mostraremos las gráficas por separados de cada una de las funciones envueltas en la suma parcial  <b>S<sub>3</sub>(x)</b> de la serie de Fourier de <b>f</b> como sigue:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmNmzfLuVF6hZ2E8nxMkAEQ8eyJsLDJ61G7FeUNUfivd8B/Fourier05.png
<sub>Gráficas de las funciones del desarrollo de  la serie Fourier. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>
Ahora, grafiquemos la suma de estos factores y obtenemos la suma parcial <b>S<sub>3</sub></b>, en el gráfico anexo:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmbjTaVFcxa55zter86UFsi3v1ZZQsxKw4rjQWgYgeA11P/Fourier06.png
<sub>Gráficas de las sumas parciales del desarrollo de  la serie Fourier. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>
Si ampliamos las sumas parciales de la serie de Fourier, por ejemplo tomamos <b>S<sub>6</sub></b> y <b>S<sub>9</sub></b>, al graficarlas obtenemos el siguiente resultado:
<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmW9EjPxLdkPsb97UWMJFL5gzocuQceqn96mdzTeJC1gxq/Fourier07.png
<sub>Gráficas de <b>S<sub>6</sub></b> en rojo y <b>S<sub>9</sub></b> en azul, de  la serie Fourier. Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath.</sub></center>

Es importante resaltar que en ambos ejemplos la serie de Fourier converge a la función <b>f</b> en los puntos de continuidad.

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmZne2kvXmUvL8qD6Bsa9iwnX8M6i4NMd8QCQSmNhsnqqb/SeparadorGMath08.png
<hr>

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido acerca de la <b>Series de Fourier y algunos ejemplos en GNU Octave</b>. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso y hermoso mundo de las matemáticas y la programación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

<br>Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
+ Folland G. B., <i>Fourier Analysis and its Applications,</i> Brooks/Cole Publishing Company, 1992.
+ Folland G. B., <i>Real Analysis,</i> John Wiley, New York, 1984.
<hr>

Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre,  GNU Octave, https://cdn.steemitimages.com/DQmYbufK9HG9LpAUVgEcFSNVmZG2irkjVy1duWbYqVyVtf4/LateX.png, GIMP e Inkscape.

<hr>
https://cdn.steemitimages.com/DQmaTz241KQheijV5qjopsqAzLW8ZpBqCmKmjpaixyGV4Wz/STEMESPANOL06.png
<hr>

@SteemSTEM es un proyecto comunitario con el objetivo de promover y apoyar la Ciencia, la Tecnología, la Ingeniería y las Matemáticas en la blockchain Steem. @Stem-espanol es parte de esta comunidad, si desea apoyar el proyecto, puedes contribuir con contenido en español en las áreas de Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas, utilizando las etiquetas #steemstem y #stem-espanol.

<center>
https://cdn.steemitimages.com/DQmaSVacTwJ8v8uqJLMAKkNaLhisPAx7bi7KXVuzV1B3uQm/FinalGMath00.png
<sub>Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.</sub></center>
</div>