### <div class="text-justify">El objetivo de este post presentar la equivalencia de las potencias con exponentes fraccionarios como una forma de expresar las expresiones radicales y de como se cumplen, en ambos casos, como potencias o como raíces, las propiedades de la potenciación.</div> 
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<center>![image.png](https://images.hive.blog/DQmUgaK3C1UgyGVMHzj95saLgmPfKrH3DeV9qugfu1wwvnf/image.png)</center>

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##### Consideremos la siguiente expresión: 
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### <center> 8<sup>1/3</sup></center>
<hr>

Aquí vemos la base 8 y el exponente es 1/3
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<div class="text-justify">Hasta ahora habíamos trabajado con exponentes que definían claramente el número de veces que debía aparecer la base en una multiplicación de factores iguales, por ejemplo: 4<sup>5</sup>, en este caso claramente se observa que la base 4 ha de multiplicarse por sí misma de tal forma que aparezca como factor 5 veces, así: 4.4.4.4.4</div>
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### Pero, ¿Cómo hacer con 8<sup>1/3</sup>? 
<hr>

Apriorísticamente podemos usar la calculadora y usar la función potencia así:
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Colocar la base 8 y elevarla a la 1/3 colocando el 1/3 entre paréntesis, y así nos da el resultado 2.
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### Pero, ¿como  interpretar la expresión
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### <center> 8<sup>1/3</sup></center>

<hr>

En plan de interpretarla voy a utilizar los criterios de una ecuación, es decir, voy a igualar dicha expresión a una variable x, así:
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### <center> 8<sup>1/3</sup>=x</center>
<hr>

Con el objetivo de eliminar el exponennte 1/3, elevaremos a ambos lados de la igualdad al exponente 3, así:
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<center>![image.png](https://images.hive.blog/DQmXChW1Y9QRy5PR18eomurrb7Uz1Yg9vKNgysYEU7j5RJ6/image.png)</center>
<hr>

Se va a utilizar una propiedad de la potenciación que se denomina ''potencia de potencia''.

Esta propiedad dice que si se tiene una potencia elevada a otra potencia entonces  se debe conservar la base y multiplicar los exponentes, esto es: 
### <center>(x<sup>n </sup>)<sup>m</sup>=x<sup>n.m</sup></center>
<hr>

Aplicando esta propiedad en la parte izquierda de la igualdad de nuestro ejemplo, queda así:
<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmQdPNRUHUwqkDfmNciy2qjbTfnjEYYTu6FxWHexUXpJUS/image.png)
<hr>
De tal forma que:
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###  <center>8=x<sup>3</sup></center>

Luego:

### <center> Si 8<sup>1/3</sup>=x  entonces 8=x<sup>3</sup></center>
<hr>

Esto se puede generalizar así:
<hr>

### <center> Si y<sup>1/n</sup>=x  entonces y=x<sup>n</sup></center>
siendo n diferente de 0.
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### Continuemos con el ejemplo que venimos desarrollando:
<hr>

<div class="text-justify">Ahora se va a convertir 8 en una potencia, descomponiéndolo como producto de sus factores primos, así:</div>

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![image.png](https://images.hive.blog/DQmNLvqTSN7zu9jhPt5YLBXdnkSfECD8b69cyH8DxFPUs2Z/image.png)
<hr>

### <center>Luego: 2<sup>3</sup>=x<sup>3</sup></center>
<hr>

Para que dos potencias sea iguales deben tener el mismo exponente y la misma base, de tal forma que, en este caso, x debe ser igual a 2.
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Sustituyendo x en la ecuación: 
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### <center>8<sup>1/3</sup>=x</center>
<hr>

Nos resulta:
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### <center>8<sup>1/3</sup>=2 ya que 2<sup>3</sup>=8</center>
<hr>

Este resultado puede ser verificado con la calculadora.
<hr>

A manera de conclusión podemos afirmar que la siguiente expresión:

<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmSQSGfvPsAVF919TN5u2tpfe9QZHm7eZ6hRZP35yfhQ3V/image.png)
<hr>

### Veamos algunos ejemplos:
<hr>

Resuelve las siguientes potencias con exponentes fraccionarios sin usar calculadoras:
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9<sup>1/2</sup>
<hr>

Para resolver sin calculadora, lo primero que se debe hacer es, igualar 9<sup>1/2</sup>,  a x, así:

<hr>

### <center>9<sup>1/2</sup>=x</center>

<hr>

Vemos que  𝑛=2, eso significa que vamos a elevar al cuadrado a ambos miembros de la igualdad con el objetivo de eliminar el exponente 1/2, así:
<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmVwBUKSHWjPuK2XQRrR9UttVx8SibGBn4VaEc2imeFGSQ/image.png)
<hr>

### Esto es:


<center>![image.png](https://images.hive.blog/DQmRN3NA9Z62bh6bnpRHksyNnRy3ByZBuVgBMAtjDU5fEyz/image.png)</center>
<hr>

### De modo que:
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### <center>9=x<sup>2</sup></center>
<hr>

Luego convertimos a 9 en potencia, para ello, lo debemos descomponer en producto de sus factores primos:

<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmetFi1xYWChK5HMw6agAp9zMd4fNWzPNzNuoNgqxtkyK9/image.png)
<hr>

Y de esta forma, tenemos que:
### <center>3<sup>2</sup>=x<sup>2</sup></center>
<hr>

### De donde el resultado es: x=3
<hr>

Puedes verificar este resultado con la calculadora.
<hr>

### Observación
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Las potencias con exponentes fraccionarios son equivalentes a una expresión radical de índice n, es decir que:

<hr>

### <center>![image.png](https://images.hive.blog/DQmW85hF8B7Gqop9zCdvFhQtgW2jg4rKhcPwdHTEtvRevre/image.png)</center>
<hr>

Ejemplo:
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![image.png](https://images.hive.blog/DQmQxp3xBjAbitebyefG8TmFdfjBKhhodNFbRveHuiA2XdB/image.png)
<hr>

Observe que: 

<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmWjDnEHqqqxMCmNk2bdWME4jrxmg8baFummAQkVCVRFLE/image.png)
<hr>

### Generalizando, podemos decir que:


### ![image.png](https://images.hive.blog/DQmQVRcZZ9GBBwk3hRV7FZ7iksBG33hoq8j4yGMPh2ewQiG/image.png)
<hr>

De esta manera, la siguiente expresión puede ser resuelta así:
<hr>


![image.png](https://images.hive.blog/DQmcBPrz5CniQLYhrubcZmQs9Nx5DKBszKWH1QkZVaVKgNY/image.png)
 Nota: este resultado fue obtenido con la calculadora.
<hr>

### También se puede afirmar que:

<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmdzZYSWgtCxMwU1u9DjPiniEtmjpLDiF6VS4oy1HF8iRh/image.png)
<hr>

### Resolveremos la siguiente ecuación:
<hr>

### <center>(-32)<sup>1/5 </sup>=x </center>
<hr>

Para resolver este ejercicio, se expresará el lado izquierdo de la ecuación como una raíz y luego, vamos a elevar a la 5, a ambos miembros de la igualdad, así:

<hr>

### ![image.png](https://images.hive.blog/DQmdoSC3CxNiwcAeNNVWP7JVsjpRauxvpZx87cjvMQH4pn4/image.png)
<hr>

De tal forma que podemos cancelar la raíz así:
<hr>

![image.png](https://images.hive.blog/DQmemuyv4puaQhYQzQf4mW3WwBYF161L3J4svDwXCCxAZJc/image.png)
<hr>

### De esta forma, nuestra ecuación queda así:

### <center> -32=x<sup>5</sup></center>
<hr>

### Descomponiendo 32 como producto de sus factores primos: 32=2<sup>5</sup>
<hr>




### Nuestra ecuación nos queda de la siguiente forma:

-2<sup>5</sup>=x<sup>5</sup>
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Por lo tanto, x=-2
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Lo cual corresponde a la solución.
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### Veamos este otro ejemplo:
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### Resolver la ecuacion:
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### (-16)<sup>1/2</sup>=x
<hr>

Sigamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior.
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Elevemos al cuadrado a ambos miembros de la ecuación, así:
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### [(-16)<sup>1/2</sup>]<sup>2</sup></sup>=x<sup>2</sup>
<hr>

El 1/2 con el 2 se elimina en el lado izquierdo y la ecuación queda así:
-16=x<sup>2</sup>
<hr>

Lo cual es una contradicción, ya que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número positivo. 
En consecuencia, este ejercicio no tiene solución.
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Pero, si en lugar de tener -16, fuese 16 positivo, el ejercicio sí tiene sentido, ya que cuando la base es positiva se puede aplicar el procedimiento anterior sin problemas para cualquier índice n par.

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Veamos:
### 16<sup>1/2</sup>=x
### [16<sup>1/2</sup>]<sup>2</sup></sup>=x<sup>2</sup>
### 16=x<sup>2</sup>
### Pero 16=4<sup>2</sup>
### Luego: 4<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>
### Finalmente: x=4
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#### A continuación, vamos a colocar unas operaciones variadas con potencias con exponentes fraccionarios o su equivalente en raíces.
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### Efectúa las siguientes operaciones:

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<center>![image.png](https://images.hive.blog/DQmY5xDtfmywXc88ZTQ8KPUqpYZAYLSHP1H6z3Gtfcgn4UX/image.png)</center>
 
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## Créditos:
El post es totalmente original de la autora.