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Uso de principios de geometría - Problema de Suma y Resta de Vectores by rnunez09

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Uso de principios de geometría - Problema de Suma y Resta de Vectores
<center>https://images.hive.blog/DQmZKnrT3M8RigLRu6qiqgzBUcueLvmgBAUDGfDwaxkfHzq/image.png</center>

<center><b> <h3> Problema de suma y resta de vectores
Uso de principios de geometría, ley del coseno y ley del seno</h3></b></center>


<div class="text-justify">

 A continuación vamos a proceder a solucionar un problema sencillo de suma y resta de vectores, el hecho de que sea un problema elemental muchas veces hace que el estudiante,  incluso el profesor, pierda de vista detalles y formas de solución donde  se aplican la geometría y la trigonometría y sólo se enfocan  en los procedimientos algebraico.

 La estructura de presentación de la solución de este problema la expongo en este blog de tal forma que he separado y enumerado las operaciones matemáticas necesarias,  y están hechas paso por paso sin obviar detalles.

 <b><h3>Planteamiento del problema</h3></b>

 Dado los vectores: https://images.hive.blog/DQmNXftgawqg7oUMFwd6MpJeR8vseV57jFhUsRyD3v2Smi7/image.png de 6 unidades haciendo un ángulo de 
 https://images.hive.blog/DQmT76oNYDqXYYxNgcRrDT7uWxekdDjKzP5AMDYqN2J9sk7/image.png con el eje x; https://images.hive.blog/DQmaSXVbUqVcgTVSTQFrz675WGdh182LHPNShjdY4uqspoV/image.png de 7 unidades en la dirección negativa del eje x. Hallar: a) la suma de los dos vectores; b) la diferencia de los dos vectores.

<b><h3>Solución</h3></b>

<center>
https://images.hive.blog/DQmdLrYpy33KGFPfPuRbgsoF88avFPGmKNXE4C6jUKctXkx/image.png
</center>


<center> Operación (1):
![ezgif.com-gif-maker (1).gif](https://images.hive.blog/DQmXiBPGQNnBfe61iYLpjeDgXvWzDb3PDcx1APfTyMTLbdT/ezgif.com-gif-maker%20(1).gif)</center>

Ahora como el vector https://images.hive.blog/DQmaSXVbUqVcgTVSTQFrz675WGdh182LHPNShjdY4uqspoV/image.png tiene dirección negativa sobre el eje x, entonces tendrá una sola componente https://images.hive.blog/DQmZUTkdj5AySSagRN5iAySRkgKXQwKUVJio2SfMuHCEGbr/image.png. Ver figura 1.


<center>Operación (2):
![ezgif.com-gif-maker (2).gif](https://images.hive.blog/DQmW3czichE1jH7ymTwn5bhz18gdN5NnDFjRqhrvqyvtX7K/ezgif.com-gif-maker%20(2).gif)</center>

Observe que en la operación (2) hemos colocado el signo negativo al vector unitario https://images.hive.blog/DQmdCM3fsjJnhdMEA7uLsaHPT8Mo3p5NUKsgVRgwJjGZLUM/image.png y no al valor de la componente https://images.hive.blog/DQmZUTkdj5AySSagRN5iAySRkgKXQwKUVJio2SfMuHCEGbr/image.png, debemos recordar que las componentes son magnitudes y por lo tanto siempre son positivas, sin embargo, para posteriores problemas se le colocará directamente el signo negativo a la componente como resultado de la multiplicación por el vector unitario.

Teniendo los vectores https://images.hive.blog/DQmNXftgawqg7oUMFwd6MpJeR8vseV57jFhUsRyD3v2Smi7/image.png  y https://images.hive.blog/DQmaSXVbUqVcgTVSTQFrz675WGdh182LHPNShjdY4uqspoV/image.png procedemos a sumarlos.


<center>Operación (3):
![ezgif.com-gif-maker (3).gif](https://images.hive.blog/DQmURvAat89Yh1JSsAiai8viKedketEGgwFe7qEnZQexRjz/ezgif.com-gif-maker%20(3).gif)</center>

 Llamemos https://images.hive.blog/DQmNS4EHdqrVZFzzkPCVZsJ1oZDmxLvN4ybwakZENdGCELj/image.png a la suma de los dos vectores https://images.hive.blog/DQmNXftgawqg7oUMFwd6MpJeR8vseV57jFhUsRyD3v2Smi7/image.png y https://images.hive.blog/DQmaSXVbUqVcgTVSTQFrz675WGdh182LHPNShjdY4uqspoV/image.png y hallemos su magnitud.


<center>
Operación (4):
![ezgif.com-gif-maker (4).gif](https://images.hive.blog/DQmX4jL1T7S9FgVYaqqYn4nPaUwgroy54wjQ9qQg9VJyqS1/ezgif.com-gif-maker%20(4).gif)</center>


<center>Operación (5):
![ezgif.com-gif-maker (5).gif](https://images.hive.blog/DQmR3Fhj5UerUHZwKMQSkAoheUG9bThbxPfQQeksYQCmnzD/ezgif.com-gif-maker%20(5).gif)</center>

Calculemos la magnitud del vector https://images.hive.blog/DQmP5yg931ARqryAV1wihGx2bd8iJLPyp7duex5wok5GWi2/image.png.


<center>Operación (6):
![ezgif.com-gif-maker (6).gif](https://images.hive.blog/DQmZKWf9fa4UD95w75Wj9HXKnJEinjA3tYs5z4H1jipFX1q/ezgif.com-gif-maker%20(6).gif)</center>

https://images.hive.blog/DQmVQFPbFg6MwpDUjxxms6e54F5Ya6QtHnTG6ydZM1xJtAM/image.png Hagamos ahora la gráfica  de la suma https://images.hive.blog/DQmNS4EHdqrVZFzzkPCVZsJ1oZDmxLvN4ybwakZENdGCELj/image.png  y la diferencia https://images.hive.blog/DQmP5yg931ARqryAV1wihGx2bd8iJLPyp7duex5wok5GWi2/image.png usando el método del paralelogramo y del triángulo. Ver figura 2.

<center>https://images.hive.blog/DQmdRm7rTzSFDoV9myZNALsiwsZSRyaQLmn83H94vw4AqGm/image.png</center>

Como podemos observar en la figura 2. tenemos el paralelogramo https://images.hive.blog/DQmXjQRYbQf3dK2KvsydEGrZGkmVGYLqxuFcrd36iGZQAvB/image.png, allí vemos que el ángulo https://images.hive.blog/DQmdrbYWq1AQx7XYEU6iZyUWL4MwXsSbV9e2RBnNnQTik6z/image.png y el ángulo https://images.hive.blog/DQmVTJmSdorG5QLwFL3As7uxLDHafoKoN5R5hjYyhWS4wM6/image.png son iguales por ser alternos entre paralelas, además el ángulo https://images.hive.blog/DQmeYnTwwWzKDvAxMRwv6599LYqHafYK7Ucr7Z27o8ZQpLP/image.png  es igual a https://images.hive.blog/DQmVTJmSdorG5QLwFL3As7uxLDHafoKoN5R5hjYyhWS4wM6/image.png  por ser ángulos opuestos por el vértice y que https://images.hive.blog/DQmPcM6dc5gyDUxMsFGfqv9ZSVYQKofioDNHqpfp7sBPNsH/image.png  ya que https://images.hive.blog/DQmP5LUXPHtAWsv8sZNj538rn2pkYKydyvAPK9LR6hZ7BUf/image.png.

La magnitud del vector https://images.hive.blog/DQmP5yg931ARqryAV1wihGx2bd8iJLPyp7duex5wok5GWi2/image.png la podemos calcular también usando la ley del coseno en el triángulo https://images.hive.blog/DQmfFfYyquQPDtWP5VWaLkYD7YwU4mg49NmxvLd7W9EYkNm/image.png que se observa en la figura 2.

<center>Operación (7):
![ezgif.com-gif-maker (7).gif](https://images.hive.blog/DQmekrfwihCP19tn79GhxyfDF2pMt9VeTteNXZY1tQAodoC/ezgif.com-gif-maker%20(7).gif)</center>

Como podemos observar que https://images.hive.blog/DQmQS2vDDB6BhJe3cUYtyZjEDXCcaxKpfnoqyiyfYMegaNz/image.png con sólo una diferencia de una centésima.


https://images.hive.blog/DQmbG9ucuQRy3p2HwCyDfU5uTsbxqnUBCqhCSqTS92hNCkS/image.png De la figura 2, extraigamos o saquemos el triángulo https://images.hive.blog/DQmcAyhMBKWCAVhUSKuV7xo6EutNepLZTU2NQUpmmCDmqY2/image.png, ver figura 3, y calculemos los ángulos  https://images.hive.blog/DQmQeoNEwuHqQusNgni2z1nnFtZizGMEuA84tLNTrCYBCTv/image.png y https://images.hive.blog/DQmc9om8nhA9ULQckkiRZCLfnrykQfGNqtY3bhv1wym6YmM/image.png utilizando la ley del seno.

<center>https://images.hive.blog/DQmVnktbiBTKAQzqWCu2tt7ouCF9mFymMPR9J9ZBgUUYzvU/image.png</center>



<center>Operación (8):
![ezgif.com-gif-maker (8).gif](https://images.hive.blog/DQmYJT6GDDn7V6QFCRNGJkL6R8hR4fvFmw6pv4NmXfSXAfK/ezgif.com-gif-maker%20(8).gif)</center>

Como la suma de los ángulos internos de todo triángulo debe ser igual a https://images.hive.blog/DQmUuuccMLxweNCS8TCRAseR38jXjQ6mTj1BL9yHbzwhSr4/image.png podemos hallar fácilmente el ángulo https://images.hive.blog/DQmc9om8nhA9ULQckkiRZCLfnrykQfGNqtY3bhv1wym6YmM/image.png.



<center>Operación (9):
![ezgif.com-gif-maker (9).gif](https://images.hive.blog/DQmQPq29Hqo3vN9tx5RM3ua5aN23bzEbfE5miEURXeJ6Xzv/ezgif.com-gif-maker%20(9).gif)</center>

https://images.hive.blog/DQmbG9ucuQRy3p2HwCyDfU5uTsbxqnUBCqhCSqTS92hNCkS/image.png De la figura 2, extraigamos o saquemos ahora el triángulo https://images.hive.blog/DQmfFfYyquQPDtWP5VWaLkYD7YwU4mg49NmxvLd7W9EYkNm/image.png, ver figura 4, y calculemos los ángulos https://images.hive.blog/DQmQ6DH3qhDTJSWcXJaZTLLexdryBCiahcsdaS8mXjoyw3E/image.png y https://images.hive.blog/DQmWkBi3FR2mvkugJymj6JqdvFR6zNqzTz8YhMeZghg5DUb/image.png utilizando la ley del seno.

<center>https://images.hive.blog/DQmSxEjPAzC4WdQV2F3xewNAQdwvV3vdkaTWVD7TvbkDtXQ/image.png</center>



<center>Operación (10):
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<center>Operación (11):
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https://images.hive.blog/DQmXbZncvzYumoUaDKfQeTHjiWs19XKH8q5AvamtQr56Kfw/image.png Tarea: Hallar la magnitud del vector suma, https://images.hive.blog/DQmNS4EHdqrVZFzzkPCVZsJ1oZDmxLvN4ybwakZENdGCELj/image.png, usando la ley del coseno  y compararlo con  (4).

<b><h3> Conclusión</h3></b>
En este problema elemental hemos sumado y restado dos vectores de formas diferentes, primero, usando el álgebra de vectores, y segundo, por medio de los métodos gráficos del paralelogramo y del triángulo. Hallamos las magnitudes  de los vectores usando la definición algebraica y aplicando la ley del coseno; para calcular los ángulos internos de los triángulos que se forman en la solución del problema usamos la ley del seno.

Se puede apreciar la relevancia que tienen los conocimientos básicos de la geometría y de la trigonometría, los cuales muchas veces se menosprecian en la solución de este tipo de problemas ya que dichas soluciones generalmente son sólo enfocadas desde el punto de vista algebraico. Es importante tener presente todas las formas posibles para resolver problemas con vectores y compararlas. Una solución geométrica es importante cuando resolvemos problemas de vectores con aplicaciones donde los vectores son entes físicos como fuerzas, velocidades, aceleración, etc.
<center>https://images.hive.blog/DQmUTcjVvRtfygNAMr5LKPynDsJk2WizLZto2qJ9EfJhFMv/image.png</center>

![hh.png](https://images.hive.blog/DQmXJTYgh57u3h5ujGbWWrNdtuzzvNnSCpYeAW7S2ebojrT/hh.png)


<b><h3>Bibliografía</h3></b>

1.- Sears F., et al. Física Universitaria Vol. I. 11 ed.. Pearson Educación, México, 2004.
2.- Finn E. J., Marcelo A. Física Vol I: Mecánica. Fondo Educativo Interamericano. México, 1971
3.- Chrtistie D. Vectors Mechanics, McGraw-Hill, 1971.
4.- Hewitt P. G. Física conceptual, 10 ed. Pearson Addison Wesley, México, 2007.
5.- Feynman R. P., et al. Física Vol. I: Mecánica, radiación y calor. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina, 1987.
6.- Baldor, J. A. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Cultural venezolana S.A.,  1986.

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@acont ·
Excelente contenido sobre vectores desde el punto de vista algebraico y gráfico. Buen trabajo elaborando los gifs. Saludos.
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