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https://images.hive.blog/DQmWi5SRhrk5pACYb9mz7VXo1GWAgRHEPss3Y32PHXbP7gG/image.png
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<h1>Funciones de n variables</h1><sup>Análisis gráfico de funciones</sup>
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<p>La nomenclatura más simple y que hemos trabajado en publicaciones recientes es la relacionada con las funciones de una sola variable, como <strong>g(x) = 2x + 3</strong>, y el sentido común nos indica que se llama así porque sólo tratamos de darle valores a 1 sola variable x. Ahora, nos corresponde avanzar una etapa más para explicar ¿qué se refiere una función de más de una variable?, comenzando con funciones de dos variables independientes, como el par x, y, o mejor así (x, y). Este paso incluye identificar el dominio y rango de tales funciones y aprender a graficarlas. También es interesante estudiar y relacionar las gráficas de funciones en 2D y 3D considerando las gráficas de funciones planas más conocidas o que he tratado en otras publicaciones.</p>
<center><strong>f(x) =  2x + 3</strong></center><br />
<center><strong>a(x,y) =  2x<sup>2</sup> + y</strong></center><br />
<center><strong>h(x,y,z) =  8x<sup>2</sup> + 18y<sup>2</sup> – 2z<sup>2</sup></strong> = c</center><br />
Una manera rápida y sencilla de entender el procedimiento de análisis de la función de una variable es que existe 1 variable de entrada x, la cual, al ser evaluada en la función, va a producir un valor único de salida, por lo que matemáticamente podemos representarla como f(x): ℝ → ℝ, a cada número real se le asigna (⟼) un número real.<br />
<p><center>https://images.hive.blog/DQmXZCJwfiGbEc118Cx3UV1rhvoziridZcSYHLo8Eq1HeC8/image.png</center></p>
<p>Tanto el Dominio: (-∞,∞) como el Rango: (−∞,∞) pertenecen a los números reales ℝ y abarcan hasta el infinito sin restricciones en esta función lineal. Ahora veamos ¿cómo es su gráfica?, <strong>y = f(x)</strong>:
<center>https://images.hive.blog/DQmaTYKCVESXHUDZa7biBd1Lz8NbCwW7na6ixDDKrSk9xKK/image.png</center></p>
Otro caso que deseo analizar en esta publicación se refiere a una expresión matemática que muestra la relación que existe entre 2 variables, que corresponden al par de valores x, y, por lo que nos resulta como imagen un número real único z. Si se grafica cada par ordenado (x, y) nos trasladaríamos del acostumbrado eje de coordenadas cartesianas al plano real en ℝ<sup>2</sup>, considerando ahora que <strong>a(x,y) = z</strong> se convierte en la superficie bidimensional.
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https://images.hive.blog/DQmUaaMcCVTHcNbjVGsvBzMVqYFeC2unbfknDQihEAmAZZ8/image.png
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<em><strong>Sin restricciones:</strong></em> los valores que pueden tomar las variables de entrada "x", "y" no están limitadas, porque no están expresadas en forma radical, racional ni logarítmica. Pueden tomar los valores entre −∞ y +∞, aunque yo tomé y = 1 para cuestiones de cálculo demostrativo.
<p></p><h2>Gráfica de una función de 2 variables</h2><p></p>
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En primera instancia, cualquier persona caería en la tentación de asignar valores arbitrarios tanto a x como a y, apoyados en el Dominio: (x,y) ∈ ℝ<sup>2</sup>, calcula z y posteriormente graficaría algo así:<p></p>
<center>https://images.hive.blog/DQmV8W6UPVYZYwQq2JTwBEsfYf6SVjGcLjtPaykSbPsF4o9/image.png</center>
<p></p>
<p>Para la función de 1 variable es correcto usar el <strong>plano cartesiano</strong> con el <em>par ordenado (x,y)</em>, pero la función a(x,y) = z consta de puntos que corresponden a un <strong>triple ordenado (x,y,z)</strong>. De esta manera, la imagen es z y como nos referimos a 3 coordenadas entonces la gráfica sería la de una superficie en un espacio tridimensional y esto lo podemos corroborar al observar la siguiente gráfica y el gif que anexo:</p>
<center>https://images.hive.blog/DQmekA6rjCxrFVv6ZWdm4vh8pjan94PM9qMG8Ge8GjCK7aP/image.png
https://images.hive.blog/DQmYiyZ8MpPAEc9FDrF9YTSkh7Ri4MxhE65KDp6Wgm5FQYY/image.png</center>
<hr />
<strong><div class="phishy">Curvas de nivel y trazo vertical</div></strong>, corresponde a infinitos valores de (x,y) graficados en el plano X-Y, mientras que los trazos verticales correspondientes a los puntos (x,y,z) se representan en los planos xz o bien en el plano yz, de manera combinada para observar la figura completa, como por ejemplo: hiperboloide, paraboloide, hemisferio y funciones seno o coseno.
<p><center>https://images.hive.blog/DQmSfbm554LC2MLocSySucNQyskVFwahBZHRvedUFJqbSrW/Gr%C3%A1ficas-2D.gif</center></p>
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Creo que el procedimiento que acabo de realizar requiere mucho tiempo, como existen muchas combinaciones posibles para los puntos (x,y), implica que para graficar una superficie en 2D o 3D necesitamos calcular muchos puntos antes de poder trazar el gráfico. Las superficies que les mencioné (paraboloides, hiperboloides, etc.) son bastante complejas y difíciles de representar con dibujo en papel, por lo que es muy recomendado recurrir a los programas de gráficas disponibles en la web.</blockquote></p>
<p><strong><div class="phishy">Atención al dato de <a href="/@ycam">@ycam</a></div></strong>, los cálculos aritméticos para funciones de n-variables, como<strong>h(x,y,z) =  8x<sup>2</sup> + 18y<sup>2</sup> – 2z<sup>2</sup></strong> = c, con c = 1, por ejemplo, pueden realizarse con media facilidad, lo que resulta algo difícil de visualizar es la superficie en ℝ<sup>3</sup>, pasando del estudio de las <em>curvas de nivel</em> al análisis de las <strong>superficies de nivel</strong> de las figuras mencionadas (hiperboloides). </p>
<p></p><h3><strong>Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes</strong></h3><p></p>
<p>Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:</p>
<ul>
<li>Presentación: <a href="http://www3.uah.es/marcos_marva/files/funciones_varias_variables.pdf">Funciones de dos o más variables</a></li>
<li>Vídeo Youtube: <a href="https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw5ArMY">Dominio, rango y gráfica de una función en varias variables</a></li>
<li>Guía: <a href="http://verso.mat.uam.es/~matteo.bonforte/teaching/2012/3-funciones-varias-variables.pdf">Funciones de varias variables</a></li>
<li>Imagen de geralt: <a href="https://pixabay.com/es/illustrations/matem%C3%A1ticas-f%C3%B3rmula-f%C3%ADsica-escuela-757668/">Imagen de la portada</a></li></ul>
<p></p>
<center><strong>Las funciones matemáticas</strong><br />
<em>nos establecen una relación entre variables,<br />
el análisis gráfico de n-variables pone a volar<br />
nuestra imaginación y a prueba nuestros conocimientos</em></center>
<p></p></div>